De l’harmonie du cosmos au chaos du monde

Fabrice Ingueneau Mathématiques
Photo : Jikabo

« Ne dérange pas mes cercles ! », avait dit Archimède au soldat romain qui s’approchait de lui, fier conquérant. C’était au moment de la prise de la ville de Syracuse. Archimède était en train de dessiner des figures géométriques au sol et ne s’était même pas rendu compte que sa ville tombait enfin, après plusieurs années de siège. Mais le langage du soldat était celui des armes et il répondit avec son épée. C’est ainsi qu’Archimède mourut, tué par un soldat trop fier, trop conquérant…Pendant plus de 2 000 ans, personne n’osa plus déranger les cercles d’Archimède… Jusqu’à ce coup d’épée fatal aussi inattendu que décisif, porté en 1931, et qui emporta les mathématiques grecques dans leur ensemble, qui moururent ainsi pour la deuxième fois.

 

L’univers raconté par les nombres

Les Grecs appelaient l’univers le cosmos, ce qui signifie « monde ordonné ». Pour eux, l’univers tient en équilibre sur une multitude de fils tissés entre ses éléments, sur lesquels se risque la pensée funambule des philosophes, mathématiciens et savants de toutes sortes, cherchant à comprendre la cohérence de cette immense toile. Car ils en sont convaincus : l’univers est régi par des lois, invisibles, qui rendent l’ensemble cohérent et harmonieux.

Pour Pythagore, les nombres à eux seuls peuvent expliquer l’univers tout entier. Il cherche donc des nombres et des proportions partout. C’est ainsi, par exemple, qu’il a été amené à « chiffrer » la musique et à inventer la première gamme musicale, de laquelle sont inspirées les gammes que nous utilisons encore aujourd’hui. Et les liens qui agrègent harmonieusement l’univers ne sont donc autres, pour lui, que les lois mathématiques. Le nombre est le moule à partir duquel a été créé l’univers.

Pythagore pense que tout nombre pris au hasard, pas forcément entier, peut être mesuré exactement par une fraction de l’unité. Mais son propre théorème le fera mentir : il n’y a pas de fraction de l’unité, si petite soit-elle, qui s’applique un nombre exact de fois pour obtenir la longueur de la diagonale d’un carré. La racine carrée de 2 () devient ainsi le premier exemple d’un nombre qui n’est ni un nombre entier, ni une fraction[1]. Un nombre qui ne se laisse attraper par aucun calcul. Un nombre qui échappe aux lois de l’arithmétique… Et si un tel nombre existe, c’est qu’il y a quelque chose dans l’univers, cachée, sur laquelle les lois de l’univers n’ont pas prise. La découverte de ce seul nombre a donc instillé un doute existentiel sur la nature harmonieuse du monde.

Et puis, ils ont affûté leur regard et regardé cet enchevêtrement de fils : dans la grande toile des nombres, ils avaient vu un faisceau infini de fils épais et solides, qui leur avait donné une idée étriquée de la structure de cet univers. Ils ne s’étaient pas rendu compte qu’il existait tout un réseau sous-jacent de fils délicats comme de la soie qui menaient à des nombres jusqu’alors invisibles. Ces petites connexions entre ces nombres étaient de nature algébrique. Autrement dit, tout nombre, aussi complexe soit-il, pouvait en quelques opérations retrouver la ronde des nombres bien établis. L’idée des nombres telle que se la faisaient les Grecs n’était pas enterrée : tous les nombres sont algébriques, accessibles dans cette immense toile par un fil, solide ou ténu, et l’ordre de l’univers est rétabli. La droite des nombres de Pythagore était trouée. Ces trous sont maintenant bouchés, pense-t-on.

Rien ne sert de compter

Les siècles passèrent et le monde s’enrichissait encore de nouveaux nombres, de plus en plus improbables, dont on ne savait parfois rien, à part leur seule existence et les liens à peine perceptibles qui les reliaient aux autres.

Un jour, enfin, il fallut qu’un esprit malin ose avancer que, peut-être, il existait d’autres nombres, différents… Que peut-être notre vision des nombres était naïve. Que peut-être certains nombres, dans cette grande jungle, étaient inaccessibles. Que peut-être il existait des nombres qu’aucun calcul ne relie l’un à l’autre. Des nombres mal rangés, insaisissables. Des nombres qui transcendent nos plus intimes convictions, mais qui sont néanmoins susceptibles d’exister, tout simplement car, jusqu’à preuve du contraire, ils n’ont pas de raison de ne pas exister.

Il s’appelait Leibniz, était allemand, philosophe et mathématicien. Il n’a fait qu’émettre l’idée, mais avec une telle conviction qu’il a été jusqu’à baptiser ces nouveaux nombres : il les a appelés les nombres transcendants… Quand une intuition est aussi forte dans un esprit aussi brillant, le doute s’immisce chez les autres. L’idée fait son chemin et 150 ans plus tard, Joseph Liouville réussit à débusquer un nombre non algébrique, le premier nombre transcendant à avoir été découvert, appelé aujourd’hui encore la constante de Liouville[2]. La droite des nombres algébriques est elle aussi trouée. Il existe des nombres, dans cette grande toile, qu’aucun chemin connu ne dessert. Les nombres se partagent donc en deux catégories : il y a les nombres algébriques, connectés, familiers et sociables ; et les nombres transcendants, sauvages et  misanthropes… À quoi correspondent-ils ? Combien sont-ils ? Quelle vérité portent-ils ? Sont-ils seulement des nombres ?

Un an plus tard naissait Cantor, philosophe-mathématicien-jongleur d’infinis. Défiant les certitudes les plus ancrées en nous, il démontra qu’il existe une échelle des infinis, une échelle elle-même sans fin, dans laquelle chaque infini est infiniment plus grand que l’infini précédent. Le premier barreau de cette échelle est l’infini des nombres entiers, qui nous est familier, quoique déjà monstrueux : Archimède disait de lui qu’il était plus grand que le nombre de grains de sable qu’il faudrait pour remplir l’univers tout entier. Personne ne sait s’il existe des barreaux entre cet infini et celui qui a autant fasciné Cantor lui-même : l’infini de la ligne continue. En comparaison, une goutte d’eau dans l’océan de cet infini serait elle-même infiniment plus grande que l’infini des nombres entiers. Cantor disait que cet infini avait la puissance du continu[3].

Et vint le jour fatal où, étudiant l’infini des nombres algébriques, il démontra qu’il n’avait pas la puissance du continu, mais celle des nombres entiers. Plus qu’une révélation, ceci fut une révolution ! L’existence des nombres entiers devenait en une phrase un point de détail amusant du monde des nombres… Et ce jour-là, la pensée grecque mourut une première fois… Tout était maintenant à reprendre depuis le début.

Les vieilles mathématiques étaient fondées sur des nombres solides, et voilà que les fondations s’effondrent. Ces nombres que Pythagore a tant chéris ne peuvent porter le poids du continu. Car, à bien y réfléchir, d’où la droite des nombres puise-elle ainsi sa force ? Pas des nombres algébriques, Cantor vient de démontrer que leur existence est négligeable par rapport à l’ensemble des nombres. Rappelez-vous, les nombres sont partagés en deux : les nombres algébriques et les nombres transcendants. Il faut maintenant se rendre à l’évidence : la puissance de la droite des nombres ne peut venir que des nombres transcendants ; les nombres transcendants ont la puissance du continu. C’est la droite des nombres transcendants qui est trouée ! Et ces petits trous que sont les nombres algébriques ne sont que quelques individus égarés, des grains de poussière dans l’étendue de la droite des nombres, rien de plus. Ainsi, les nombres que l’on connaît sont de quantité tellement négligeable devant les nombres transcendants que leur présence est anecdotique. Les nombres sont constitués presque exclusivement des nombres transcendants : un nombre pris au hasard n’a aucune chance d’être algébrique ! Aucune chance d’être un nombre entier, une fraction, ou même une racine carrée… Le monde des nombres est constitué de nombres sauvages, rétifs à toute sorte d’organisation, mystérieux, dont on ne connaît rien, qui ne sont le reflet d’aucune réalité, sur lesquels on n’a aucune prise…

Les seuls nombres qui existent sont inimaginables… Les autres nombres n’existent pas. Les nombres ne sont régis par aucune loi, l’harmonie du cosmos vacille… L’arithmétique ne sert à rien, le chaos seul est aux commandes.

La géométrie dessine le monde

Les mathématiques grecques marchent sur deux pieds : les figures et les nombres. La géométrie grecque, intuitive et efficace, égrenant formules et théorèmes à la seule force du raisonnement, était portée en art de la pensée. La légende dit qu’au fronton de son école, Platon avait fait inscrire « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre. » L’art de la géométrie était en effet un préalable à l’appréhension des grandes vérités, celles qui transcendent nos convictions intimes pour s’imposer. En géométrie grecque, les figures fondamentales sont la droite et le cercle. Il n’y a donc, pour les Grecs, que deux armes pour affronter dans l’arène un problème géométrique : la règle et le compas. Tout autre outil de tracé altère la pureté de la géométrie.

Ce jour-là, Archimède dessine un cercle. Il est très fort en cercles… Il sait bien que le périmètre d’un cercle est un peu plus de trois fois plus grand que son diamètre. Un peu plus de 3, mais assez loin de 4. Alors il dessine son cercle et il le coince entre deux hexagones, un à l’intérieur et un à l’extérieur du cercle. Puis il resserre son étau autour du cercle, en doublant à chaque étape le nombre de côtés des deux polygones. Jusqu’à obtenir deux polygones à 96 côtés, qui épousent presque les contours du cercle. À tel point que, de loin, on les confond avec le cercle lui-même. Mais ce sont bien 96 petits segments qui se tiennent la main dans une ronde parfaite.

Quel est l’intérêt de ces polygones à 96 côtés ? Eh bien, tout simplement, comme il s’y entend en théorème de Pythagore et autres propriétés géométriques, Archimède sait parfaitement calculer la longueur du côté de ces polygones à 96 côtés. Cette astuce lui a ainsi permis de trouver un encadrement très précis de la longueur d’un cercle. Et la longueur d’un cercle, pour un diamètre de longueur 1, est égale à un nombre qui, jusqu’au XVIIIe siècle, s’appelait la constante d’Archimède, et qui depuis s’appelle p. Ainsi il a, grâce à des tout petits segments, réussi à mieux connaître le cercle. Cette idée lumineuse fut cependant mise en sommeil pendant presque 2 000 ans.

Durant plusieurs siècles, la géométrie grecque a régné sans partage, bien qu’elle fût, dès le XIe siècle,  attaquée par le Perse Omar Khayyam. Mais à partir du XVIIe siècle, elle fut régulièrement prise d’assaut. En état de siège depuis la découverte d’autres géométries que la géométrie si naturelle que nous avons héritée des Grecs, elle n’a alors plus que trois siècles à vivre.

Archimède fut le premier à avoir voulu découper une courbe en une multitude de petits segments pour mieux l’étudier. Au XVIIe siècle, Leibniz va plus loin en disant que l’univers tout entier est composé d’éléments infiniment petits imbriqués les uns aux autres. Le monde est complexe, la nature est parfois difforme, son contour irrégulier. Mais il est convaincu que des segments de plus en plus petits mis bout à bout en épouseraient la forme. La perfection de la ligne droite nous permet ainsi d’approcher et d’étudier les formes les plus complexes. Il nous est d’ailleurs évident qu’une ligne continue est régulière, à part en quelques points singuliers, quand notre voisin de droite nous pousse du coude dans l’espoir de donner quelques à-coups à notre pensée. Mais l’Histoire s’acharne obstinément contre les intuitions et les vérités sensibles.

Le monde redessine la géométrie

En 1834, Bernard Bolzano met en évidence une courbe dont le trait est continu mais en tout point irrégulier, de sorte qu’il est impossible de la tracer, comme si le crayon était pris de convulsions continues et interminables pendant tout le temps du tracé. Une courbe que l’on ne peut pas décomposer en petits segments, si petits mais tellement réconfortants, à l’instar des pixels, minuscules carrés de couleur dont chaque image est une mosaïque… Et un siècle plus tard, en 1931, sera donné le coup de grâce : les courbes que les Grecs aimaient étudier, belles et élancées, ellipses et cycloïdes, conchoïdes et autres cissoïdes, n’existent pas ou presque. Les courbes que l’on croit pouvoir tracer sans lever le crayon sont exceptions. Car non seulement les courbes comme celle de Bolzano existent, mais en plus – et restez assis, monsieur Hermite – non seulement elles existent, mais en plus elles sont tellement nombreuses que le reste est anecdotique[4]. Oui, monsieur Hermite, vous-même qui avez démontré il n’y a pas soixante ans que le nombre e, le nombre le plus célèbre de toute l’histoire des mathématiques (après p), est aussi un nombre transcendant ; vous-même qui êtes un esprit ouvert, avez dit : « Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n’ont point de dérivées. » Eh bien, cette plaie lamentable, monsieur Hermite, gangrène l’antique représentation du monde dont vous avez hérité. La perfection n’existe pas : toute ligne est constituée d’une multitude de points facétieux qui, chacun, veut imposer une trajectoire contraire à celle de son voisin. On les voyait se tenir la main en rangs bien alignés, mais en vérité ils s’empoignent et se tirent dans tous les sens avec une violence inouïe. Même si une ligne nous paraît jolie, on y verra toujours, en y regardant de plus près, le désordre le plus total.

Depuis cinquante ans, les mathématiciens et physiciens ont opéré un changement de paradigme et modélisent les phénomènes naturels, comme la météorologie, à travers le prisme des systèmes chaotiques et des objets fractals. Les Grecs avaient construit une mathématique qui ne décrit pas le monde qui nous entoure. Ils avaient cru que l’architecture de l’univers était adossée à des lois qui en ordonnaient l’agencement. Mais le monde est un agrégat d’éléments indisciplinés. Ils ont bâti leur vision du monde sur les proportions, les droites et les cercles, mais les proportions, les droites et les cercles n’existent pas.

Dans le ventre du monde, il y a le chaos.

 

Fabrice Ingueneau

[1]     Voir « Comment moi, la racine carrée de 2, j’ai failli faire vaciller à moi toute seule l’harmonie du cosmos », Saxifrage n° 7.

[2]    Voir « La constante de Liouville, ou la fabuleuse épopée des nombres transcendants », Saxifrage n° 8.

[3]    Voir « Le bal des infinis », Saxifrage n° 11.

[4]    Théorème de Banach – Mazurkiewicz, 1931.

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